Ecuaciones bicuadráticas.

Algunas veces al trabajar con ecuaciones de grado mayor que dos (grado superior) las ecuaciones toman la forma \(ax^{2n}+bx^n+c=0\) las cuales se denominan “ecuaciones bicuadráticas”, y se pueden tener varios casos.

Note que \(ax^{2n}+bx^n+c=0\) tiene la forma de la ecuación general de segundo grado en su forma \(ax^2+bx+c=0,\) por lo cual se puede considerar de manera natural resolver usando la fórmula general en la forma, $$x^n=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ y luego resolver para \(x^n\) obteniendo así el valor de \(x\). Otra manera de resolver \(ax^{2n}+bx^n+c=0\) es mediante el uso de factorización, por el método de completar el t.c.p., o mediante el uso de y o ceros polinomiales mediante la ya comida regla de Ruffini, lo cual se explica más adelante en la próxima sección.

Si \(a=1\) el trinomio se escribe como \(x^{2n}+bx^n+c=0\) y su factorización (si es posible) es de manera sencilla en la forma, $$ (x^n ~{\rm signo\ de}~b ~\ \textcolor{#ff0080}{h}) (x^n~ {\rm signo~ de} \ bc \ \textcolor{#ff0080}{k})=0$$ donde como de costumbre las cantidades \(h\) y \(k\) deben cumplir las condiciones, \(hk=c\) y además \(h+k=b\) o \(h-k=b\) según los signos de los factores, de no existir \(h\) y \(k\) que cumplan las condiciones el trinomio no es factorizable y se debe usar uno de los métodos que se expresó más arriba.

Si \(a\neq1\) se puede considerar factorizar \)ax^{2n}+bx^n+c=0\) como si fuera un trinomio \(ax^2+bx+c=0\) y factorizarlo por multiplicación y división o cualquier otro método deseado hasta tener despejado completamente el valor de \(x\). A continuación, se ilustran cada uno de estos casos.

Ejemplo 1. Una ecuación bicuadrática. Resolver \(x^4-5x^2+4=0\)
Solución: \(x^4-5x^2+4\) es un trinomio de la forma \(x^{2n}-bx^n+c\) de donde se tiene. \begin{align} &\left(x^2-h\right)\left(x^2-k\right)=0\\ &\left(x^2-4\right)\left(x^2-1\right)=0\\ &\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\\ &\left\{\begin{array}i x+2=0⟹x=-2\\ x-2=0⟹x=2 \end{array}\right.~~~~~~~ \left\{\begin{array}i x-1=1⟹x=-1\\ x+1=-1⟹x=1 \end{array}\right.\end{align} Resolviendo cada factor.

Ejemplo 2. Una ecuación bicuadrática por fórmula general. Resolver \(x^4-7x^2-8=0\)
Solución: intentando factorizar el trinomio como \(\left(x^2-h\right)\left(x^2-k\right)=0\) no existen números \(h\) y \(k\) que multiplicados sean ocho y sumados siete, por tanto, se recurre a la fórmula general. \begin{align} &x^2=\ \frac{-\left(-7\right)\pm\sqrt{\left(-7\right)^2-4\left(1\right)\left(-8\right)}}{2\left(1\right)}=\frac{7\pm\sqrt{49+32}}{2}\\ &x^2=\frac{7\pm\sqrt{81}}{2}=\frac{7\pm9}{2}\Longrightarrow x2=4x2=-1\\ &\left\{\begin{array}i x^2-4=0⟹(x+2)(x-2)=0\\ x^2+1=0~ {\rm no~ es~ factorizable.} \end{array}\right.\\ &{\rm De} ~\left(x+2\right)\left(x-2\right)=0~ {\rm se~ tiene}~ x_1=-2 ~{\rm y}~ x_2=2\end{align} Resolviendo \(x^2+1=0\) mediante formula general, para \(a=1;\) \(b=0\) y \(c=1\) se tiene, $$x=\frac{0\pm\sqrt{0^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2}=\frac{\pm\sqrt{-4}}{2}$$ y dado que \(\sqrt{-4}\) no tiene imagen en \(\mathbb{R}\), no hay solución reales para \(x^2+1=0\) y por tanto las únicas soluciones en \(\mathbb{R}\) para \(x^4-7x^2-8=0\) para son \(x_1=-2\) y \(x_2=2\).

Ejemplo 3. Resolver \(x^4-7x^2+10=0\)
Solución: factorizando el trinomio se tiene, \( \left(x^2-5\right)x2¬-1=0\) que factorizado otra vez es \( \left(x-\sqrt5\right)\left(x+\sqrt5\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0.\)
Igualando a cero cada facto resulta, \(x_1=\sqrt5\); \( x_2=-\sqrt5;\) \(x_3=1;\) y \(x_4=-1\)

Ejemplo 4. Resolver para el conjuntos de los reales \(x^6+15x^3-16=0\)
Solución: factorizando el trinomio se tiene \(\left(x^3+16\right)\left(x^3-1\right)=0\) que igualando a cero es, $$\left\{\begin{array}i x^3+16=0 ⟹x^3=\sqrt[3]{-16} \Longleftrightarrow x=-2\sqrt[3]2\\ x^3-1=0 ⟹x^3=1 \Longleftrightarrow x=\sqrt[3]1=1\end{array}\right.$$

Ceros polinomiales y multiplicidad de raíces.

Como ya se ha dicho para un polinomio entero-racional si \(P\left(c\right)=0\) entonces \8c\) es un cero o raíz del polinomio. Si las raíces del polinomio son reales representan los puntos de intersección de su gráfica con el eje de abscisas (eje horizontal), por tal razón ofrecen información acerca de cuántas veces la gráfica del polinomio y para cuales valores toca dicho eje. Si las raíces son complejas entonces geométricamente carecen de significado.

Sea \(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_1x+a_0\) un polinomio entero-racional, entonces los posibles ceros racionales de \(P(x)\) son de la forma, \( \frac{p}{q}=\frac{{\rm factores\ de}\ a_0\ }{{\rm factores\ de}\ a_n}\) donde \(a_0\) es el término independiente y \(a_n\) es el coeficiente principal.

Se dice que un valor \(x=c\) es un cero de multiplicidad \(n\) de un polinomio \(P(x)\) cuando el polinomio contiene el factor \(x-c\) ene veces, esto es \(P(x)\) puede escribirse como, $$P\left(x\right)=\left(x-c\right)^n\left(x-r\right)\ldots$$ Así, por ejemplo, \(P(x)=\left(x-3\right)\left(x+5\right)\) tiene por raíces \(x=3\) y \(x=-5\) cada una de las cuales tiene multiplicad uno, en cambio \(P\left(x\right)=\left(x-3\right)^3\left(x+5\right)^2\left(x-1\right)\) tiene por raíces \(x=3\) de multiplicidad tres, \(x=-5\) de multiplicidad dos y \(x=1\) de multiplicidad uno, esto es $$P\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x-3\right)\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+5\right)\left(x-1\right)$$ Para determinar los ceros polinomiales (raíces del polinomio) si el polinomio es de grado mayor que do, por lo general se utiliza la regla de Ruffini para determinar los cero racionales hasta convertir (si es posible) el polinomio en una expresión cuadrática y luego se utiliza la factorización o fórmula general para los últimos dos ceros, al igual que como se hizo al trabajar con las ecuaciones bicuadráticas, desde luego que las ecuaciones bicuadráticas estudiadas en la sección anterior también pueden ser tratadas con los conceptos que se discuten en este apartado por ser polinomios de grado mayor que dos.

Ejemplo 1. Determinar los ceros del polinomio \(P(x)=x^5-10x^3-6x^2+21x+18\) y escribirlo como un producto de sus factores lineales.
Solución: para aplicar la regla de Ruffini se requiere que el polinomio esté completo y ordenado, así que comience por escribir el polinomio como $$P(x)=x^5+0x^4-10x^3-6x^2+21x+18$$ los posibles ceros son de la forma $$\frac{\mathrm{factores~ de}~ a_0=18}{\mathrm{factores~ de}~ a_n=1}={\pm1;~ \pm2;~ \pm3;~ \pm6;~ \pm9;~ \pm;18}$$ Tomando los coeficientes \(1+0-10-6+21+18\) para aplicar división sintética note que la suma de ellos no es cero, por tanto \(x=1\) no es un cero. Aplicando división sintética para \(x=-1\) se tiene: $$\begin{array}{c c c c c c |c}1&+0&-10&-6&+21&+18\\ \Downarrow &-1&+1&+9&-3&-18&-1\\\hline 1&-1&-9&+3&+18& \textcolor{#ff0080}{0}\end{array} \Longrightarrow \begin{array}1{\rm como}~r(-1)=\textcolor{#ff0080}{0},~~(x+1)~{\rm es~factor:}\\ (x+1)(x^4-x^3-9x^2+3x+18)\end{array}$$ Aplicando Ruffini otra vez para \(x^4-x^3-9x^2+3x+18\) lo primero que se debe hacer es volver a probar con \(x=-1\), para ver si funciona nuevamente (no lo hace), como no funciona se prueba con otro valor. $$\begin{array}{c c c c c |c}1&-1&-9&+3&+18&\\ \Downarrow &-2&+6&+6&-18&-2\\\hline 1&-3&-3&+9& \textcolor{#ff0080}{0}\end{array} \Longrightarrow \begin{array}1{\rm como}~r(-2)=\textcolor{#ff0080}{0},~~(x+2)~{\rm es~ factor:}\\ ~~(x+2)(x^3-3x^2-3x+9)\end{array}$$ Aplicando Ruffini otra vez para \(x^3-3x^2-3x+9\). se prueba de nuevo \(x=-2\) lo cual no funciona, y para \(x=3\) se tiene: $$\begin{array}{c c c c |c}11&-3&-3&+9\\ \Downarrow &+3&+0&-9&3\\\hline 1&+0&-3& \textcolor{#ff0080}{0}\end{array} \Longrightarrow \begin{array}1{\rm como}~r(3)=\textcolor{#ff0080}{0},~~(x-3)~\rm{es factor:}\\ ~~(x-3)(x^2-3)\end{array}$$ Escribiendo ahora todos los factores en línea $$P(x)=(x+1)(x+2)(x-3)(x^2-3)$$ Que usando diferencia de cuadrados (o fórmula general) para el factor \(x^2-3\) se tiene que los ceros del polinomio son, $$C=\{-1,-2,3,\sqrt3,-\sqrt3\} ~\mathrm{que~ ordenados~son}~C=\{-2,-\sqrt3,-1,\sqrt3,3\}$$ y el polinomio escrito como el producto de factores lineales es, $$P(x)=(x+1)(x+2)(x-3)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$$